Litt påskegodt: ln phi

4 04 2007

I anledning påsken tenkte jeg å ikke skrive noe som er egnet til provokasjon, men til beundring, nemlig tallet 1,618… Tallet er best kjent som det gylne snitt og noteres ofte med den greske bokstaven phi, φ.

Foranledningen er at jeg i en gruppegjennomgang i BED030 – Investering og finans – kjedet meg litt, så jeg tok frem kalkulatoren og tastet litt. Først kjørte jeg gjennom Fibonaccis rekke, som jeg en tid i forveien hadde diskutert med en annen galning. På videregående lærte jeg av en matematikklærer med skummelt sterk interesse for sopp og parasitter i saueull at dersom du legger sammen to og to tall, summen av de to foregående pluss det nest siste tallet mange nok ganger og til slutt deler på det nest siste tallet, vil du få et tall som er tilnærmet lik det gylne snitt: 1,618033989… Vi begynner med tallene 1 og 2 og summerer. Så legger vi sammen det nest siste tallet og summen av de to foregående i mønsteret under. Vi gir oss for eksempel når vi har fem siffer i alle tall og deler da den siste summen på den nest siste og vi får… overraskende nok:

Mer generelt er det slik at to linjestykker, a og b, er i et gyllent forhold når forholdet mellom lengden på det lange linjestykket, a, og lengden på det korte linjestykket, b, er lik forholdet mellom lengden på summen av de to linjestykkene, a+b , og lengden på det lange linjestykket, a, altså:

Vi ser at siden

så er

og dermed er

forkorter med b:

multipliserer med phi, flytter over og får en andregradsligning:

som løses ved hjelp av den kjære formelen

altså:

Den eneste positive løsningen er:

Av videre kjedsomhet begynte jeg å ta logaritmen av dette tallet:

og logaritmen av 0,618:

Her er det mulig å ane et visst mønster:

Antageligvis er det en særdeles logisk grunn til at det er slik, men det er ikke noe jeg har lest meg opp i verken før eller senere. Tierlogaritmen gir samme mønster:
Hvorfor er det slik? Finnes det en gluping der ute som kan forklare dette på en forståelig måte?

0,618 blir forresten notert med stor gresk phi, Φ og er pussig nok definert som

Den som måtte ønske kan jo prøve å finne om andre tall enn 0,618… passer inn som phi her:

Den som måtte ønske å lese mer om dette forunderlige tallet finner mye rart for eksempel på wikipedia. Der finnes også mye mer avansert matematikk enn det jeg gidder å sette meg inn i i påsken eller kommer til å forstå ved første eller andre gjennomlesning.

Men nå er det påskefjellet med tilhørende regn, vind og forfrysninger. God påske!

Advertisements

Handlinger

Information

5 responses

6 04 2007
Erlend K

Takk, takk.. 🙂

Phi er et fantastisk interessant tall, noe jeg først virkelig er blitt klar over etter at du delte av dine spennende erfaringer.. 😉 (Jeg er jo såpass nerd at jeg synes sånt er fryktelig fascinerende.)

Og en riktig god påske til deg også.

9 04 2007
Dure Kmick

Først må jeg bare si at dere er gale begge to, men jeg, Dure, er så absurd at jeg til tider danker ut deres galskap.

ln(1,618 – 1) = ln(1.618) – 1

Opphøy venstresiden og ledd nr 1 til høyre i e.

Venstresiden
e^(ln(1,618-1))= 1,618 – 1

Høyresiden
e^(ln1,618) – 1 = 1,618 – 1

Der har vi det tror jeg. Nei uttrykket i starten er jo ikke likt, jeg skrev kanskje feil av. Dessuten måtte jeg vel opphøyet hele høyresiden i e, for at det skulle bli matematisk rett?

ln(1,618 – 1) = ln(1.618)* (- 1)

Venstresiden
e^(ln(1,618-1))= 1,618 – 1 = 0,618

Høyresiden
e^(ln(1,618)*(-1)) = (e^ln1,618)^(-1)= 1,618^-1 = 0,6180…

Nå skulle det være rett. Av en eller annen grunn gjelder ikke dette generelt. Prøv det samme men med andre tall enn 1,618.

«Me SUPERHIRO!!!!!!!! Me bend TIME and SPACE!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!»

11 04 2007
ln

😀 Hiro! Fleire enn me som har sett heroes!

11 04 2007
Kandidat Weinberg

«Av en eller annen grunn gjelder ikke dette generelt.»

Av samme grunn som ingenting av det andre heller gjelder generelt vil jeg tro. e^ln ser forresten veldig intelligent ut for alle som ikke kan all verdens matte.

13 04 2007
Dure Kmick

@ ln, ja tenkte jeg måtte se den. Utrolig bra.

@ Kandidaten
Vi må hente inn ekstern hjelp tror jeg. Per?

Legg igjen en kommentar

Fyll inn i feltene under, eller klikk på et ikon for å logge inn:

WordPress.com-logo

Du kommenterer med bruk av din WordPress.com konto. Logg ut / Endre )

Twitter picture

Du kommenterer med bruk av din Twitter konto. Logg ut / Endre )

Facebookbilde

Du kommenterer med bruk av din Facebook konto. Logg ut / Endre )

Google+ photo

Du kommenterer med bruk av din Google+ konto. Logg ut / Endre )

Kobler til %s




%d bloggers like this: